算法 - 桶排序

前面分析了几种常用排序算法的原理、时间复杂度、空间复杂度、稳定性等。接下来我会讲三种时间复杂度是 O(n) 的排序算法：桶排序、计数排序、基数排序。


因为这些排序算法的时间复杂度是线性的，所以我们把这类排序算法叫作线性排序（Linear sort）。之所以能做到线性的时间复杂度，主要原因是，这三个算法是非基于比较的排序算法，都不涉及元素之间的比较操作。这几种排序算法理解起来都不难，时间、空间复杂度分析起来也很简单，但是对要排序的数据要求很苛刻，所以我们今天学习重点的是掌握这些排序算法的适用场景。


按照惯例，我先给你出一道思考题：如何根据年龄给 100 万用户排序？ 你可能会说，我用上一节课讲的归并、快排就可以搞定啊！是的，它们也可以完成功能，但是时间复杂度最低也是 O(nlogn)。有没有更快的排序方法呢？让我们一起进入今天的内容！


桶排序（Bucket sort）首先，我们来看桶排序。桶排序，顾名思义，会用到“桶”，核心思想是将要排序的数据分到几个有序的桶里，每个桶里的数据再单独进行排序。桶内排完序之后，再把每个桶里的数据按照顺序依次取出，组成的序列就是有序的了。（有木有点像归并排序）





桶排序的时间复杂度为什么是 O(n) 呢？


我们一块儿来分析一下。如果要排序的数据有 n 个，我们把它们均匀地划分到 m 个桶内，每个桶里就有 k=n/m 个元素。每个桶内部使用快速排序，时间复杂度为 O(k * logk)。m 个桶排序的时间复杂度就是 O(m * k * logk)，因为 k=n/m，所以整个桶排序的时间复杂度就是 O(nlog(n/m))。当桶的个数 m 接近数据个数 n 时，log(n/m) 就是一个非常小的常量，这个时候桶排序的时间复杂度接近 O(n)。


桶排序看起来很优秀，那它是不是可以替代我们之前讲的排序算法呢？答案当然是否定的。为了让你轻松理解桶排序的核心思想，我刚才做了很多假设。


实际上，桶排序对要排序数据的要求是非常苛刻的。*首先，要排序的数据需要很容易就能划分成 m 个桶，并且，桶与桶之间有着天然的大小顺序。这样每个桶内的数据都排序完之后，桶与桶之间的数据不需要再进行排序。其次，数据在各个桶之间的分布是比较均匀的。如果数据经过桶的划分之后，有些桶里的数据非常多，有些非常少，很不平均，那桶内数据排序的时间复杂度就不是常量级了。在极端情况下，如果数据都被划分到一个桶里，那就退化为 O(nlogn) 的排序算法了。


桶排序比较适合用在外部排序**中。所谓的外部排序就是数据存储在外部磁盘中，数据量比较大，内存有限，无法将数据全部加载到内存中。比如说我们有 10GB 的订单数据，我们希望按订单金额（假设金额都是正整数）进行排序，但是我们的内存有限，只有几百 MB，没办法一次性把 10GB 的数据都加载到内存中。这个时候该怎么办呢？


现在我来讲一下，如何借助桶排序的处理思想来解决这个问题。我们可以先扫描一遍文件，看订单金额所处的数据范围。假设经过扫描之后我们得到，订单金额最小是 1 元，最大是 10 万元。我们将所有订单根据金额划分到 100 个桶里，第一个桶我们存储金额在 1 元到 1000 元之内的订单，第二桶存储金额在 1001 元到 2000 元之内的订单，以此类推。每一个桶对应一个文件，并且按照金额范围的大小顺序编号命名（00，01，02…99）。理想的情况下，如果订单金额在 1 到 10 万之间均匀分布，那订单会被均匀划分到 100 个文件中，每个小文件中存储大约 100MB 的订单数据，我们就可以将这 100 个小文件依次放到内存中，用快排来排序。等所有文件都排好序之后，我们只需要按照文件编号，从小到大依次读取每个小文件中的订单数据，并将其写入到一个文件中，那这个文件中存储的就是按照金额从小到大排序的订单数据了。


不过，你可能也发现了，订单按照金额在 1 元到 10 万元之间并不一定是均匀分布的 ，所以 10GB 订单数据是无法均匀地被划分到 100 个文件中的。有可能某个金额区间的数据特别多，划分之后对应的文件就会很大，没法一次性读入内存。这又该怎么办呢？针对这些划分之后还是比较大的文件，我们可以继续划分，比如，订单金额在 1 元到 1000 元之间的比较多，我们就将这个区间继续划分为 10 个小区间，1 元到 100 元，101 元到 200 元，201 元到 300 元…901 元到 1000 元。如果划分之后，101 元到 200 元之间的订单还是太多，无法一次性读入内存，那就继续再划分，直到所有的文件都能读入内存为止。




桶排序是计数排序的升级版。它利用了函数的映射关系，高效与否的关键就在于这个映射函数的确定。为了使桶排序更加高效，我们需要做到这两点：

1. 在额外空间充足的情况下，尽量增大桶的数量
2. 使用的映射函数能够将输入的 N 个数据均匀的分配到 K 个桶中

同时，对于桶中元素的排序，选择何种比较排序算法对于性能的影响至关重要。

1. 什么时候最快

当输入的数据可以均匀的分配到每一个桶中。

2. 什么时候最慢

当输入的数据被分配到了同一个桶中。

元素分布在桶中

然后，元素在每个桶中排序：

代码

排序一个数组[5,3,6,1,2,7,5,10]， 值都在1-10之间，建立10个桶：


[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] 桶，十个空桶


[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10] 桶代表的值
遍历数组，第一个数字5，第五个桶加1

[0 0 0 0 1 0 0 0 0 0]

第二个数字3，第三个桶加1

[0 0 1 0 1 0 0 0 0 0]

遍历后

[1 1 1 0 2 1 1 0 0 1]

输出

[1 2 3 5 5 6 7 10]

代码：
**

def bucket_sort(lst):
    """创建桶"""
    buckets = [0] * ((max(lst) - min(lst))+1)
    for i in range(len(lst)):
        """对应下标添加标识位"""
        buckets[lst[i]-min(lst)] += 1
    res=[]
    for i in range(len(buckets)):
        if buckets[i] != 0:
            res += [i+min(lst)]*buckets[i]
    print(res)


def main():
    array = [5,3,6,2,7,5,10,11,20]
    bucket_sort(array)


if __name__ == '__main__':
    main()