算法 - 递归

递归对我来说真的是晦涩难懂啊，看似简单，但是当动手写代码想逻辑的时候，无从下手的感觉。一本书上说，爱递归的人爱的要死，不爱递归的人恨的要死，还有一种不爱递归但是随后又爱的要死。leigh caldwell 在 stack overflow上说，如果使用循环，程序的效率可能更高，但是使用递归，程序更容易理解。存在即合理，接下来我们看一下递归

推荐注册返佣金的这个功能我想你应该不陌生吧？现在很多 App 都有这个功能。这个功能中，用户 A 推荐用户 B 来注册，用户 B 又推荐了用户 C 来注册。我们可以说，用户 C 的“最终推荐人”为用户 A，用户 B 的“最终推荐人”也为用户 A，而用户 A 没有“最终推荐人”。

一般来说，我们会通过数据库来记录这种推荐关系。在数据库表中，我们可以记录两行数据，其中 actor_id 表示用户 id，referrer_id 表示推荐人 id。

基于这个背景，我的问题是，给定一个用户 ID，如何查找这个用户的“最终推荐人”？ 带着这个问题，我们来学习今天的内容，递归（Recursion）！


如何理解“递归”？从我自己学习数据结构和算法的经历来看，我个人觉得，有两个最难理解的知识点，一个是动态规划，另一个就是递归。递归是一种应用非常广泛的算法（或者编程技巧）。


之后我们要讲的很多数据结构和算法的编码实现都要用到递归，比如 DFS 深度优先搜索、前中后序二叉树遍历等等。所以，搞懂递归非常重要，否则，后面复杂一些的数据结构和算法学起来就会比较吃力。不过，别看我说了这么多，递归本身可是一点儿都不“高冷”，咱们生活中就有很多用到递归的例子。


周末你带着女朋友去电影院看电影，女朋友问你，咱们现在坐在第几排啊？电影院里面太黑了，看不清，没法数，现在你怎么办？别忘了你是程序员，这个可难不倒你，递归就开始排上用场了。于是你就问前面一排的人他是第几排，你想只要在他的数字上加一，就知道自己在哪一排了。但是，前面的人也看不清啊，所以他也问他前面的人。就这样一排一排往前问，直到问到第一排的人，说我在第一排，然后再这样一排一排再把数字传回来。直到你前面的人告诉你他在哪一排，于是你就知道答案了。


这就是一个非常标准的递归求解问题的分解过程，去的过程叫“递”，回来的过程叫“归”。基本上，所有的递归问题都可以用递推公式来表示。刚刚这个生活中的例子，我们用递推公式将它表示出来就是这样的：

f(n)=f(n-1)+1 其中，f(1)=1

f(n) 表示你想知道自己在哪一排，f(n-1) 表示前面一排所在的排数，f(1)=1 表示第一排的人知道自己在第一排。有了这个递推公式，我们就可以很轻松地将它改为递归代码，如下：

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  return f(n-1) + 1;
}

如果上面找座位的例子你没有明白递归是怎么一回事，那么请读一读下面的问题：

1. 如何给一堆数字排序？ 答：分成两半，先排左半边再排右半边，最后合并就行了，至于怎么排左边和右边，请重新阅读这句话。
2. 孙悟空身上有多少根毛？ 答：一根毛加剩下的毛。
3. 你今年几岁？ 答：去年的岁数加一岁,1999 年我出生。

递归需要满足的三个条件

刚刚这个例子是非常典型的递归，那究竟什么样的问题可以用递归来解决呢？我总结了三个条件，只要同时满足以下三个条件，就可以用递归来解决。


1. 一个问题的解可以分解为几个子问题的解何为子问题？子问题就是数据规模更小的问题。比如，前面讲的电影院的例子，你要知道，“自己在哪一排”的问题，可以分解为“前一排的人在哪一排”这样一个子问题。


2. 这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样比如电影院那个例子，你求解“自己在哪一排”的思路，和前面一排人求解“自己在哪一排”的思路，是一模一样的。


3. 存在递归终止条件把问题分解为子问题，把子问题再分解为子子问题，一层一层分解下去，不能存在无限循环，这就需要有终止条件。还是电影院的例子，第一排的人不需要再继续询问任何人，就知道自己在哪一排，也就是 f(1)=1，这就是递归的终止条件。

如何编写递归代码？

刚刚铺垫了这么多，现在我们来看，如何来写递归代码？我个人觉得，写递归代码最关键的是写出递推公式，找到终止条件，剩下将递推公式转化为代码就很简单了。你先记住这个理论。我举一个例子，带你一步一步实现一个递归代码，帮你理解。


假如这里有 n 个台阶，每次你可以跨 1 个台阶或者 2 个台阶，请问走这 n 个台阶有多少种走法？如果有 7 个台阶，你可以 2，2，2，1 这样子上去，也可以 1，2，1，1，2 这样子上去，总之走法有很多，那如何用编程求得总共有多少种走法呢？


我们仔细想下，实际上，可以根据第一步的走法把所有走法分为两类，第一类是第一步走了 1 个台阶，另一类是第一步走了 2 个台阶。所以 n 个台阶的走法就等于先走 1 阶后，n-1 个台阶的走法 加上先走 2 阶后，n-2 个台阶的走法。用公式表示就是：

f(n) = f(n-1)+f(n-2)

有了递推公式，递归代码基本上就完成了一半。我们再来看下终止条件。当有一个台阶时，我们不需要再继续递归，就只有一种走法。所以 f(1)=1。这个递归终止条件足够吗？我们可以用 n=2，n=3 这样比较小的数试验一下。


n=2 时，f(2)=f(1)+f(0)。如果递归终止条件只有一个 f(1)=1，那 f(2) 就无法求解了。所以除了 f(1)=1 这一个递归终止条件外，还要有 f(0)=1，表示走 0 个台阶有一种走法，不过这样子看起来就不符合正常的逻辑思维了。所以，我们可以把 f(2)=2 作为一种终止条件，表示走 2 个台阶，有两种走法，一步走完或者分两步来走。


所以，递归终止条件就是 f(1)=1，f(2)=2。这个时候，你可以再拿 n=3，n=4 来验证一下，这个终止条件是否足够并且正确。我们把递归终止条件和刚刚得到的递推公式放到一起就是这样的：

f(1) = 1;
f(2) = 2;
f(n) = f(n-1)+f(n-2)

有了这个公式，我们转化成递归代码就简单多了。最终的递归代码是这样的：

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  return f(n-1) + f(n-2);
}

我总结一下，写递归代码的关键就是找到如何将大问题分解为小问题的规律，并且基于此写出递推公式，然后再推敲终止条件，最后将递推公式和终止条件翻译成代码。


计算机擅长做重复的事情，所以递归正和它的胃口。而我们人脑更喜欢平铺直叙的思维方式。当我们看到递归时，我们总想把递归平铺展开，脑子里就会循环，一层一层往下调，然后再一层一层返回，试图想搞清楚计算机每一步都是怎么执行的，这样就很容易被绕进去。


对于递归代码，这种试图想清楚整个递和归过程的做法，实际上是进入了一个思维误区。很多时候，我们理解起来比较吃力，主要原因就是自己给自己制造了这种理解障碍。那正确的思维方式应该是怎样的呢？


如果一个问题 A 可以分解为若干子问题 B、C、D，你可以假设子问题 B、C、D 已经解决，在此基础上思考如何解决问题 A。而且，你只需要思考问题 A 与子问题 B、C、D 两层之间的关系即可，不需要一层一层往下思考子问题与子子问题，子子问题与子子子问题之间的关系。屏蔽掉递归细节，这样子理解起来就简单多了。因此，编写递归代码的关键是，只要遇到递归，我们就把它抽象成一个递推公式，不用想一层层的调用关系，不要试图用人脑去分解递归的每个步骤。

递归代码要警惕堆栈溢出

在实际的软件开发中，编写递归代码时，我们会遇到很多问题，比如堆栈溢出。而堆栈溢出会造成系统性崩溃，后果会非常严重。为什么递归代码容易造成堆栈溢出呢？我们又该如何预防堆栈溢出呢？我在“栈”那一节讲过，函数调用会使用栈来保存临时变量。每调用一个函数，都会将临时变量封装为栈帧压入内存栈，等函数执行完成返回时，才出栈。


系统栈或者虚拟机栈空间一般都不大。如果递归求解的数据规模很大，调用层次很深，一直压入栈，就会有堆栈溢出的风险。比如前面的讲到的电影院的例子，如果我们将系统栈或者 JVM 堆栈大小设置为 1KB，在求解 f(19999) 时便会出现如下堆栈报错：

Exception in thread "main" java.lang.StackOverflowError

递归代码要警惕重复计算

除此之外，使用递归时还会出现重复计算的问题。刚才我讲的第二个递归代码的例子，如果我们把整个递归过程分解一下的话，那就是这样的：





从图中，我们可以直观地看到，想要计算 f(5)，需要先计算 f(4) 和 f(3)，而计算 f(4) 还需要计算 f(3)，因此，f(3) 就被计算了很多次，这就是重复计算问题。


为了避免重复计算，我们可以通过一个数据结构（比如散列表）来保存已经求解过的 f(k)。当递归调用到 f(k) 时，先看下是否已经求解过了。如果是，则直接从散列表中取值返回，不需要重复计算，这样就能避免刚讲的问题了。


除了堆栈溢出、重复计算这两个常见的问题。


递归代码还有很多别的问题。在时间效率上，递归代码里多了很多函数调用，当这些函数调用的数量较大时，就会积聚成一个可观的时间成本。在空间复杂度上，因为递归调用一次就会在内存栈中保存一次现场数据，所以在分析递归代码空间复杂度时，需要额外考虑这部分的开销，比如我们前面讲到的电影院递归代码，空间复杂度并不是 O(1)，而是 O(n)。

怎么将递归代码改写为非递归代码？

我们刚说了，递归有利有弊，利是递归代码的表达力很强，写起来非常简洁；而弊就是空间复杂度高、有堆栈溢出的风险、存在重复计算、过多的函数调用会耗时较多等问题。所以，在开发过程中，我们要根据实际情况来选择是否需要用递归的方式来实现。那我们是否可以把递归代码改写为非递归代码呢


笼统地讲，是的。因为递归本身就是借助栈来实现的，只不过我们使用的栈是系统或者虚拟机本身提供的，我们没有感知罢了。如果我们自己在内存堆上实现栈，手动模拟入栈、出栈过程，这样任何递归代码都可以改写成看上去不是递归代码的样子。但是这种思路实际上是将递归改为了“手动”递归，本质并没有变，而且也并没有解决前面讲到的某些问题，徒增了实现的复杂度。