数据结构 - 二叉树基础（下）

二叉查找树（Binary Search Tree）

二叉查找树是二叉树中最常用的一种类型，也叫二叉搜索树。顾名思义，二叉查找树是为了实现快速查找而生的。不过，它不仅仅支持快速查找一个数据，还支持快速插入、删除一个数据。它是怎么做到这些的呢？这些都依赖于二叉查找树的特殊结构。


二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值。 我画了几个二叉查找树的例子，你一看应该就清楚了。





前面我们讲到，二叉查找树支持快速查找、插入、删除操作，现在我们就依次来看下，这三个操作是如何实现的。

1. 二叉查找树的查找操作

首先，我们看如何在二叉查找树中查找一个节点。我们先取根节点，如果它等于我们要查找的数据，那就返回。如果要查找的数据比根节点的值小，那就在左子树中递归查找；如果要查找的数据比根节点的值大，那就在右子树中递归查找。





这里我把查找的代码实现了一下，贴在下面了，结合代码，理解起来会更加容易。

class Node:
    def __init__(self,value, left_child_node=None, right_child_node=None):
        self.value = value
        self.left_child_node = left_child_node
        self.right_child_node = right_child_node



class BinarySearchTree:
    def __init__(self, value, left_child_node=None, right_child_node=None):
        self.root = Node(value, left_child_node, right_child_node)



    def find_elem(self, value, node, parent_node, node_type):
        if node is None:
            return False, node, parent_node, node_type
        elif node.value == value:
            return True, node, parent_node, node_type
        elif value > node.value:
            return self.find_elem(value, node.right_child_node, node, "right_child_node")
        elif value < node.value:
            return self.find_elem(value, node.left_child_node, node, "left_child_node")

    def insert_elem(self, value):
        flag, node, parent_node, node_type = self.find_elem(value, self.root, self.root, None)
        if node_type == "left_child_node":
            node.left_child_node = Node(value)
        else:
            node.right_child_node = Node(value)


if __name__ == '__main__':
    tree = BinarySearchTree(33, Node(17, Node(13,right_child_node=Node(16)), Node(18,right_child_node=Node(25, Node(19), Node(27)))), Node(50, Node(34), Node(58, Node(51), Node(66))))
    flag, *rest = tree.find_elem(19, tree.root, tree.root, None)
    print(flag, rest[0].value, rest[1].value, rest[2])

2. 二叉查找树的插入操作

二叉查找树的插入过程有点类似查找操作。新插入的数据一般都是在叶子节点上，所以我们只需要从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小关系。


如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插到右子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入位置。





同样，插入的代码我也实现了一下，贴在下面，你可以看看。

class Node:
    def __init__(self,value, left_child_node=None, right_child_node=None):
        self.value = value
        self.left_child_node = left_child_node
        self.right_child_node = right_child_node

class BinarySearchTree:
    def __init__(self, value, left_child_node=None, right_child_node=None):
        self.root = Node(value, left_child_node, right_child_node)

    def find_elem(self, value, node, parent_node, node_type):
        if node is None:
            return False, node, parent_node, node_type
        elif node.value == value:
            return True, node, parent_node, node_type
        elif value > node.value:
            return self.find_elem(value, node.right_child_node, node, "right_child_node")
        elif value < node.value:
            return self.find_elem(value, node.left_child_node, node, "left_child_node")

    def insert_elem(self, value):
        flag, node, parent_node, node_type = self.find_elem(value, self.root, self.root, None)
        if node_type == "left_child_node":
            parent_node.left_child_node = Node(value)
        else:
            parent_node.right_child_node = Node(value)

if __name__ == '__main__':
    tree = BinarySearchTree(33, Node(17, Node(13,right_child_node=Node(16)), Node(18,right_child_node=Node(25, Node(19), Node(27)))), Node(50, Node(34), Node(58, Node(51), Node(66))))
    flag, *rest = tree.find_elem(19, tree.root, tree.root, None)
    print(flag, rest[0].value, rest[1].value, rest[2])

    tree.insert_elem(100)
    flag, *rest = tree.find_elem(100, tree.root, tree.root, None)
    print(flag, rest[0].value, rest[1].value, rest[2])

3. 二叉查找树的删除

操作二叉查找树的查找、插入操作都比较简单易懂，但是它的删除操作就比较复杂了 。针对要删除节点的子节点个数的不同，我们需要分三种情况来处理。


第一种情况是，如果要删除的节点没有子节点，我们只需要直接将父节点中，指向要删除节点的指针置为 null。比如图中的删除节点 55。


第二种情况是，如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），我们只需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中的删除节点 13。


第三种情况是，如果要删除的节点有两个子节点，这就比较复杂了。我们需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了），所以，我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。比如图中的删除节点 18。





删除代码（要借助查找方法）：

class Node:
    def __init__(self,value, left_child_node=None, right_child_node=None):
        self.value = value
        self.left_child_node = left_child_node
        self.right_child_node = right_child_node



class BinarySearchTree:
    def __init__(self, value, left_child_node=None, right_child_node=None):
        self.root = Node(value, left_child_node, right_child_node)



    def find_elem(self, value, node, parent_node, node_type):
        if node is None:
            return False, node, parent_node, node_type
        elif node.value == value:
            return True, node, parent_node, node_type
        elif value > node.value:
            return self.find_elem(value, node.right_child_node, node, "right_child_node")
        elif value < node.value:
            return self.find_elem(value, node.left_child_node, node, "left_child_node")

    def insert_elem(self, value):
        flag, node, parent_node, node_type = self.find_elem(value, self.root, self.root, None)
        if node_type == "left_child_node":
            parent_node.left_child_node = Node(value)
        else:
            parent_node.right_child_node = Node(value)


    def delete_elem(self, value):
        """Delete
        1). 无子节点
        2). 一个子节点
        3). 两个子节点
        """
        flag, node, parent_node, node_type = self.find_elem(value, self.root, self.root, None)
        if flag is False:
            return
        else:
            if node.left_child_node == None and node.right_child_node == None:
                if node_type == "left_child_node":
                    parent_node.left_child_node = None
                else:
                    parent_node.right_child_node = None
            elif node.left_child_node != None and node.right_child_node == None:
                parent_node.left_child_node = node.left_child_node
            elif node.left_child_node == None and node.right_child_node != None:
                parent_node.right_child_node = node.right_child_node
            else:
                min_node = self.find_min_node(node.right_child_node)
                self.delete_elem(min_node.value)
                if node_type == "left_child_node":
                    parent_node.left_child_node = min_node
                else:
                    parent_node.right_child_node = min_node
                min_node.left_child_node = node.left_child_node
                min_node.right_child_node = node.right_child_node

    def find_min_node(self, node):
            """查找最小值"""
            if node.left_child_node == None:
                return node
            else:
                return self.find_min_node(node.left_child_node)

if __name__ == '__main__':
    tree = BinarySearchTree(33, Node(16, Node(13,right_child_node=Node(15)), Node(18,Node(17),right_child_node=Node(25, Node(19), Node(27)))), Node(50, Node(34), Node(58, Node(51), Node(66))))
    flag, *rest = tree.find_elem(19, tree.root, tree.root, None)
    print(flag, rest[0].value, rest[1].value, rest[2])

    # tree.insert_elem(100)
    # flag, *rest = tree.find_elem(100, tree.root, tree.root, None)
    # print(flag, rest[0].value, rest[1].value, rest[2])

    tree.delete_elem(18)

实际上，关于二叉查找树的删除操作，还有个非常简单、取巧的方法，就是单纯将要删除的节点标记为“已删除”，但是并不真正从树中将这个节点去掉。


这样原本删除的节点还需要存储在内存中，比较浪费内存空间，但是删除操作就变得简单了很多。而且，这种处理方法也并没有增加插入、查找操作代码实现的难度。

4. 二叉查找树的其他操作

除了插入、删除、查找操作之外，二叉查找树中还可以支持快速地查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。


二叉树的遍历：

def preTraverse(self, root):
    '''
    前序遍历
    中左右
    '''
    if root == None:
        return
    print(root.value)
    self.preTraverse(root.left_child_node)
    self.preTraverse(root.right_child_node)

def midTraverse(self, root):
    '''
    中序遍历
    左中右
    '''
    if root == None:
        return
    self.midTraverse(root.left_child_node)
    print(root.value)
    self.midTraverse(root.right_child_node)

def afterTraverse(self, root):
    '''
    后序遍历
    左右中
    '''
    if root == None:
        return
    self.afterTraverse(root.left_child_node)
    self.afterTraverse(root.right_child_node)
    print(root.value)

二叉树查找最大最小值：

def find_min_node(self, node):
        """查找最小值"""
        if node.left_child_node == None:
            return node
        else:
            return self.find_min_node(node.left_child_node)

def find_max(self, root):
    if root.right_child_node is None:
        return root
    else:
        return self.find_max(root.right_child_node)

二叉查找树除了支持上面几个操作之外，还有一个重要的特性，就是中序遍历二叉查找树，可以输出有序的数据序列，时间复杂度是 O(n)，非常高效。因此，二叉查找树也叫作二叉排序树。支持重复数据的二叉查找树前面讲二叉查找树的时候，我们默认树中节点存储的都是数字。


很多时候，在实际的软件开发中，我们在二叉查找树中存储的，是一个包含很多字段的对象。我们利用对象的某个字段作为键值（key）来构建二叉查找树。我们把对象中的其他字段叫作卫星数据。


前面我们讲的二叉查找树的操作，针对的都是不存在键值相同的情况。那如果存储的两个对象键值相同，这种情况该怎么处理呢？我这里有两种解决方法。第一种方法比较容易。二叉查找树中每一个节点不仅会存储一个数据，因此我们通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把值相同的数据都存储在同一个节点上。


第二种方法比较不好理解，不过更加优雅。每个节点仍然只存储一个数据。在查找插入位置的过程中，如果碰到一个节点的值，与要插入数据的值相同，我们就将这个要插入的数据放到这个节点的右子树，也就是说，把这个新插入的数据当作大于这个节点的值来处理。





当要查找数据的时候，遇到值相同的节点，我们并不停止查找操作，而是继续在右子树中查找，直到遇到叶子节点，才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。





对于删除操作，我们也需要先查找到每个要删除的节点，然后再按前面讲的删除操作的方法，依次删除。

二叉查找树的时间复杂度分析

好了，对于二叉查找树常用操作的实现方式，你应该掌握得差不多了。现在，我们来分析一下，二叉查找树的插入、删除、查找操作的时间复杂度。实际上，二叉查找树的形态各式各样。比如这个图中，对于同一组数据，我们构造了三种二叉查找树。它们的查找、插入、删除操作的执行效率都是不一样的。


图中第一种二叉查找树，根节点的左右子树极度不平衡，已经退化成了链表，所以查找的时间复杂度就变成了 O(n)。





我刚刚其实分析了一种最糟糕的情况，我们现在来分析一个最理想的情况，二叉查找树是一棵完全二叉树（或满二叉树）。这个时候，插入、删除、查找的时间复杂度是多少呢？


从我前面的例子、图，以及还有代码来看，不管操作是插入、删除还是查找，时间复杂度其实都跟树的高度成正比，也就是 O(height)。既然这样，现在问题就转变成另外一个了，也就是，如何求一棵包含 n 个节点的完全二叉树的高度？树的高度就等于最大层数减一，为了方便计算，我们转换成层来表示。


从图中可以看出，包含 n 个节点的完全二叉树中，第一层包含 1 个节点，第二层包含 2 个节点，第三层包含 4 个节点，依次类推，下面一层节点个数是上一层的 2 倍，第 K 层包含的节点个数就是 2^(K-1)。不过，对于完全二叉树来说，最后一层的节点个数有点儿不遵守上面的规律了。它包含的节点个数在 1 个到 2^(L-1) 个之间（我们假设最大层数是 L）。如果我们把每一层的节点个数加起来就是总的节点个数 n。也就是说，如果节点的个数是 n，那么 n 满足这样一个关系：

n >= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+1
n <= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+2^(L-1)

借助等比数列的求和公式，我们可以计算出，L 的范围是[log2(n+1), log2n +1]。完全二叉树的层数小于等于 log2n +1，也就是说，完全二叉树的高度小于等于 log2n。显然，极度不平衡的二叉查找树，它的查找性能肯定不能满足我们的需求。我们需要构建一种不管怎么删除、插入数据，在任何时候，都能保持任意节点左右子树都比较平衡的二叉查找树，这就是我们下一节课要详细讲的，一种特殊的二叉查找树，平衡二叉查找树。平衡二叉查找树的高度接近 logn，所以插入、删除、查找操作的时间复杂度也比较稳定，是 O(logn)。

解答开篇

我们在散列表那节中讲过，散列表的插入、删除、查找操作的时间复杂度可以做到常量级的 O(1)，非常高效。而二叉查找树在比较平衡的情况下，插入、删除、查找操作时间复杂度才是 O(logn)，相对散列表，好像并没有什么优势，那我们为什么还要用二叉查找树呢？


我认为有下面几个原因：


第一，散列表中的数据是无序存储的，如果要输出有序的数据，需要先进行排序。而对于二叉查找树来说，我们只需要中序遍历，就可以在 O(n) 的时间复杂度内，输出有序的数据序列。


第二，散列表扩容耗时很多，而且当遇到散列冲突时，性能不稳定，尽管二叉查找树的性能不稳定，但是在工程中，我们最常用的平衡二叉查找树的性能非常稳定，时间复杂度稳定在 O(logn)。


第三，笼统地来说，尽管散列表的查找等操作的时间复杂度是常量级的，但因为哈希冲突的存在，这个常量不一定比 logn 小，所以实际的查找速度可能不一定比 O(logn) 快。加上哈希函数的耗时，也不一定就比平衡二叉查找树的效率高。


第四，散列表的构造比二叉查找树要复杂，需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。


最后，为了避免过多的散列冲突，散列表装载因子不能太大，特别是基于开放寻址法解决冲突的散列表，不然会浪费一定的存储空间。综合这几点，平衡二叉查找树在某些方面还是优于散列表的，所以，这两者的存在并不冲突。我们在实际的开发过程中，需要结合具体的需求来选择使用哪一个。

内容小结

今天我们学习了一种特殊的二叉树，二叉查找树。它支持快速地查找、插入、删除操作。二叉查找树中，每个节点的值都大于左子树节点的值，小于右子树节点的值。


不过，这只是针对没有重复数据的情况。对于存在重复数据的二叉查找树，我介绍了两种构建方法，一种是让每个节点存储多个值相同的数据；另一种是，每个节点中存储一个数据。针对这种情况，我们只需要稍加改造原来的插入、删除、查找操作即可。在二叉查找树中，查找、插入、删除等很多操作的时间复杂度都跟树的高度成正比。


两个极端情况的时间复杂度分别是 O(n) 和 O(logn)，分别对应二叉树退化成链表的情况和完全二叉树。为了避免时间复杂度的退化，针对二叉查找树，我们又设计了一种更加复杂的树，平衡二叉查找树，时间复杂度可以做到稳定的 O(logn)。